Несколько лет назад, КМО проникла и в деятельность риэлтерских и оценочных фирм, однако широкого распространения не получила, что было связано как с невостребованностью рынком, так и с недостаточной устойчивостью и точностью моделей того времени. К сожалению, пользователями не принималась в расчет та информация, которая была заложена внутри самих моделей, как-то - объективные поправки на различные факторы, ценовое деление города на зоны и т.п., т.к. основное внимание (и, соответственно, претензии) уделялось той цифре, которая именуется оценкой рыночной стоимости объекта. Сама по себе, модель не может являться идеальной, так как она уже изначально базируется не на 100% рыночной информации, некорректные сделки, нерепрезентативность базы данных приводит к тому, что в 9 случаях модель дает близкие к идеальным цифры, но в десятом - т.н. выброс. Особенно это часто происходит на т.н. уникальных объектах. Однако нигде в мире и, практически, ни в одной сфере деятельности результаты моделирования процессов не используются как данные a priori, стандартная практика - это контроль и дополнительный анализ со стороны специалиста (чаще всего - на уровне здравого смысла). И, фактически, всегда за результатом следует оценка погрешности.

Как было отмечено в [1] построение модели можно разбить на несколько этапов: анализ рынка и сбор данных; формирование базы данных; создание модели; калибровка коэффициентов. Поэтапно разберем истоки возникновения погрешности оценки e .

На первом этапе проводится анализ рынка и сбор данных. Фактически, основные выводы этого этапа и будут первоначально определять структуру модели, а также систему кодировки качественных факторов. Здесь выясняется - какие факторы оказывают основное или второстепенное влияние на цену сделки, до какой глубины детализации имеет смысл рассматривать тот или иной фактор. Однако здесь возникает впервые понятие цены для каждой сделки. Её корректность, соответствие реальной ситуации не всегда однозначно. Опустим возможность предоставления заведомо ложной информации, хотя это иногда имеет место, особенно при использовании официальных источников. В конце концов, существует процедура фильтра, задача которой - выявлять такие сделки. Гораздо важнее т.н. шум сделки e ₀, связанный с тем, что цена сделки естественно варьируется в небольших пределах, в зависимости от агента и сторон сделки, времени экспозиции, способа округления суммы и прочих недетерменированных факторов. Как указывалось выше, один и тот же объект может быть продан с помощью разных агентов за немного различные суммы. Фактически, моделирование после этого ведется не относительно подлинно рыночных цен Y (понимаемых как среднее по ряду подобных гипотетических сделок), а по установленным ценам конкретных сделок:

Y' = Y + e ₀ (1)

В принципе, этой погрешностью (e ₀₎ можно пренебречь в случае хорошо развитого рынка и большого числа собранных сделок, но во всех других ситуациях, в особенности если используются цены предложений или случая аренды, где часто используется грубое округление, эта погрешность вносит значительный вклад в общую погрешность КМО.

На втором этапе формируется база данных. Сделки формализуются, создаются основные поля базы, причем каждое поле соответствует фактору. На этом этапе погрешность возникает на уровне формализации. К примеру, фактор стены дома задается как панель, блок, кирпич, дерево и комбинированная стена. В последнее значение будут попадать и дома с кирпичным первым этажом, деревянным - вторым, и деревянные дома покрытые штукатуркой и пр. Выделять в отдельные значения поля такие стены не имеет смысла по причине низкой репрезентативности. Подобное огрубление имеет место и внутри каждого значения - виды кирпичей тоже весьма различается между собой. Сходная причина погрешности - отброс нерепрезентативных и малозначимых факторов, т.е. уменьшение полного числа факторов. Погрешность этого вида обозначим - e _f. Отметим, что природа e ₀ и e _f одна и та же - недоучет ряда факторов, но если первую погрешность невозможно вычленить в чистом виде, то вторая достаточно определена, и нередко производится уточнение и дополнительный сбор по нерепрезентативным факторам с целью введения их в модель. Для упрощения анализа их можно объединить - e ₀(e _f).

Рис.1. Эффект снижения стоимости кв.м. общей площади для крупных объектов.

Третий этап - выбор вида модели, создание поправок на значения факторов, формирование дополнительных переменных и, наконец, создание самой модели. Погрешность здесь возникает вследствие любого неточного шага, однако, она находится под контролем моделиста, в его распоряжении набор методов и статистик, характеризующих качество его модели. Как показывает опыт, на этом этапе гораздо опаснее неустойчивость модели по значениям факторов, чем погрешность выбора более грубой, но устойчивой модели. Как пример можно привести введение нелинейных зависимостей по значениям какой-либо характеристики, скажем, площади объекта. Известно, что стоимость кв.м. площади падает с увеличением объекта. Введение степенной поправки Sa отражает этот процесс, однако для малых значений площади происходит обратный эффект - цена кв.м. сильно возрастает, это отражено на рис.1. Вдобавок, для очень крупных объектов поправка будет чрезмерно сильной, т.е. снижать стоимость кв.м. площади в 3-10 раз, что не адекватно реальной ситуации.

Таким образом, основным видом погрешности здесь остается погрешность процесса моделирования, связанная с неадекватным отражением реальной ситуации структурой модели, заложенными в нее внутренними связями факторов, наконец, заведомым огрублением модели. Обозначим эту погрешность e _м.

На этапе калибровки возникает последний вид погрешности (отметим - он отсутствует для множественной линейной регрессии (МЛР или МРА - множественный регрессионный анализ)), связанный с выбором вектора начальных значений для итеративных методов, с числом отброшенных фильтром данных, наконец, с числом итераций. Выделять ее отдельно - не имеет смысла, по сути - эта погрешность может быть включена в e _м.

Теперь формализуем задачу: пусть рыночная стоимость объекта Y зависит от полного набора X_tot факторов и характеристик объекта, а также рыночной ситуации по абсолютному объективному закону:

Y = F(X_tot) (2)

Однако, в базу данных попадают только цены сделок Y' по формуле (1), обозначим построенную модель по ограниченному набору факторов Х₁ и характеристик как f(X₁). В принципе, база данных описывается следующим соотношением:

Y' = f(X₁) + e _db (3)

где e _db - абсолютная погрешность модели описывающей базу данных, которая прямо определяется вышеуказанными погрешностями e _f, e _м, и косвенно связана через погрешность моделирования e _м с e ₀. Эта погрешность e _db напрямую определяется при помощи стандартных статистических коэффициентов R², COV, COD, наиболее удобным для анализа погрешности является использование дисперсии D = s ² [2], в данном случае мы имеем дело с т.н. средней квадратичной погрешностью оценки

(4)

которая напрямую связана с COV (здесь суммирование ведется по числу сделок - n). Применяя формулу к реальным объектам, мы имеем дело со следующим соотношением:

Y = f(X₁) + e _abs (5)

где e _abs - абсолютная погрешность модели описывающей реальную ситуацию. В результате, задача ставится следующим образом: оценить e _abs исходя из набора статистик по e _db.

Y + e ₀ = f(X₁) + e _db (6)

А) Предположим, что шум e ₀ является полностью независимым по отношению к факторам группы X₁ и удовлетворяет требованию нормального распределения, тогда, в соответствии с правилами сложения дисперсий s _(f-Y)² = s _abs² = s ₀² + s _db², здесь квадратичные погрешности относятся к соответствующим ошибкам e . Для иллюстрации предположим, что в ходе анализа рынка квартир установлено, что в зависимости от ряда субъективных факторов цена квартир может варьироваться в пределах до ± 5% и соответствующая относительная погрешность s /Y_ср составляет 3.5%. В процессе моделирования базы данных установлено, что

s _db/f(X₁) составляет 8% и оценка является не смещенной, т.е. f(X₁) = Y'_ср = Y_ср, отсюда по формуле (4) - s _abs = 8.7%.

Б) Предположим, что шум e ₀ является либо детерменирован по неизвестному закону факторами, либо является частичной (или однозначной) причиной возникновения ошибки e _db, такая ситуация возможна, когда, скажем, e ₀ из формулы (6) линейно зависим от X₁. В этом случае, e ₀ отражается e _f или e _м, и искомая погрешность s _abs близка или совпадает с s _db.

По сути дела, в гипотетической ситуации, когда математико-статистические методы позволяют вычленять шум левой части e ₀, при условии точно заданного вида зависимости Y = f(X₁) (мы рассматриваем уравнение (6)), ошибка оценки отсутствует. Однако, в реальной ситуации мы не имеем право априорно задавать вид зависимости и набор факторов и погрешность снова будет на уровне s _db. Основное различие между ситуацией в точных науках, когда обработка экспериментальных данных, напр. методами Фурье-анализа, позволяет выделить т.н. сигнал с большой точностью и моделированием рынка связано с тем, что в первом случае методы обработки не подвержены влиянию этого шума, в то время как в моделировании шум искажает саму модель и значения коэффициентов.

За основу модельной б/д была взята реальная б/д квартир г.Твери. Т.е. б/д обладала реальным распределением значений характеристик и факторов P_i. Стоимости Y моделировались по сложному случайному закону (например, (1*P₁^.987 + 2*P₂^.911 + 3*P₃^1.024 - P₄ + 4*ln(P₅))*P₆^1.8*P₇*P₈^.1*.85^P₉). Цены сделок формировались: для 1) как Y'=Y+(e -0.5)*(D/Yср.), для 2) Y'=Y+(e -0.5)*(D/Yср.)*z(P_i), где e - случайная величина от 0 до 1, D - параметр, характеризующий величину шума по отношению к среднему значению цен (фактически, это величина определяющая дисперсию погрешности), z(P_i) - зависимость от факторов, с тем условием, что значения z(P_i) распределены вокруг единицы с дисперсией, не превосходящей дисперсию погрешности. Далее проводилось моделирование цен Y' с использованием МРА относительно набора факторов P_i, т.е. строилась линейная модель, результатом которой были предсказанные значения f(P_i). Теперь мы могли оценить то, насколько хорошо предсказаны как цены сделок Y', так и стоимости Y на основе какого-либо статистического коэффициента (был выбран COV). Результат представлен на следующих рисунках:

Первое, что необходимо отметить, что оценка f(P_i) стоимостей Y в обоих случаях выходит на некоторое значение COV (5-6%) при D/Yср.(r) 0. Это связано с погрешностью моделирования, т.е. тем, что делается попытка описать сложный закон зависимости стоимости от факторов линейным законом. В обоих случаях погрешность моделирования стоимостей Y слабо зависит от вносимого уровня шума в б/д, вне зависимости от того, связан ли как-то этот шум со значениями факторов или нет. Для случая (А) COV оценок цен б/д Y' возрастает линейно с увеличением шума, что и следует из теории МРА. Для случая (Б) зависимость становится нелинейной, однако COV при этом меньше, это связано с тем, что часть вариации шума, связанная с зависимостью от факторов описывается моделью. Так или иначе, при реальном уровне шума (десятки процентов) погрешность оценки реальных стоимостей Y гораздо ниже, чем погрешность оценки цен б/д Y'.

Полученный результат внешне противоречит случаям 1) и 2) формального подхода, где погрешность s _abs > s _db. На самом деле то была лишь верхняя оценка погрешности, не учитывающая возможность вычленения начального шума e ₀ при моделировании. Как показано на рис.2 ситуация является более благоприятной, однако недостаток состоит в том, что мы априорной не знаем ни уровня шума e ₀, ни его вида ни его зависимости от прочих факторов объекта и сделки. Это значит, что такую оценку (s _abs < s _db) можно считать нижней.

Каким образом можно оценить шум e ₀ присутствующий в базу (сюда мы включим и шум недоучета факторов e _f)? Помимо выводов делаемых при анализе рынка, когда принимается в расчет ошибка округления или же вызнается зависимость цены от срока экспозиции можно предложить следующий метод, используемый, в частности, в математико-статистическом пакете NCSS: теоретически возможно образовать достаточно объемный набор преобразований от факторов и характеристик (это будут т.н. комбинированные и нелинейные переменные), которые присутствуют в базе. Как показывает опыт, достаточно ограничиться 10-20 новыми переменными и строить лишь нелинейные функции степенного и экспоненциального (логарифмического вида). Далее остается построить зависимость R² от числа включенных факторов и аппроксимировать ее в бесконечность (см.рис.3).

Рис.3. Оценка погрешности e ₀(e _f) путем экстраполяции к бесконечно большому числу комбинаций факторов.

В NCSS этому соответствует процедура "Все возможные регрессии". Полученное значение R² (N (r) Ґ ) можно интерпретировать следующим образом: использование сложной по структуре формулы в пределах базы данных позволяет утверждать, что оставшаяся неописанной часть вариации цен Y' 1-R² относится на долю вариации за счет оставшихся неописанных факторов, в числе которых находится шум e ₀, который, по сути, является следствием неучтенных субъективных факторов.

Дальнейший расчет основной погрешности оценки e _abs строится из следующих соображений: верхний предел средней квадратической погрешности модели s _abs - , нижний - s _db/k где k оценивается из графиков (Рис.2) по оцененному шуму б/д e ₀ (к примеру для независимого шума 20% k ~ 4, для случая шума, связанного с рядом факторов, если есть основания полагать это, k ~ 3,3). Определить - связан ли шум e ₀(e _f) со значениями факторов - априорно невозможно. Можно лишь делать предположения. Однако нас интересует, в данном случае, лишь нижний предел, который имеет место при независимом шуме, он равен s _db/k.

Достаточно интересно рассмотреть работу нескольких экспертов по методу сравнения продаж для одного и того же объекта. В классической схеме подбирается набор парных сходных сделок и производится вычисление стоимости объекта путем расчета влияния различных поправок. В случае если эксперты используют одни и те же парные сделки, то следует ожидать близкого результата. Погрешность определения s _exp будет состоять из знакомого нам шума сделок, характеризуемого s ₀ и ошибок определения каждой поправки - (s _f)_i по закону сложения дисперсий независимых величин . Погрешности (s _f)_i - весьма значительны, т.к. набрать достаточное количество парных сделок по каждому фактору - крайне трудно. Причем наблюдается интересный эффект, с увеличением числа поправок, учитываемых экспертов, погрешность может возрастать вместо ожидаемого улучшения оценки. И, надо отметить, это взята еще идеальная ситуация, а что если экcперты имеют свои предвзятые мнения о поправках, или базируются на различных сделках (как показывает практика, по этой причине оценки экспертов разнятся, иногда, в разы). В результате, погрешность оценки экспертами значительно превышает погрешность КМО. Более прогрессивный путь работы эксперта - это использование более сложных и продвинутых методов расчета поправок, которые, по своей сути, тяготеют к множественной регрессии, а с этим, понятно, гораздо лучше справляется КМО с развитой теорией, удобными математико-статистическими пакетами. Однако опытный эксперт имеет одно значительное преимущество - в его работе отсутствуют сильные выбросы результата, он способен уловить уникальность объекта или местоположения, помимо этого он способен делать индивидуальные допущения. Опытный же риэлтер проводит оценку, вообще, на основе личной интуиции (что эквивалентно существованию “модели в голове”). Точность при этом находится на уровне шума рынка s ₀.

Теперь зададимся вопросом - зачем эксперту более точная оценка, с установленной погрешностью. Дело в том, что подавляющее большинство нынешних экспертов успешно справляется с задачей, работая на весьма примитивном уровне. Однако, ситуация меняется, и оценщикам-экспертам необходимо будет переходить на более высокий уровень работы. Первый тезис - число т.н. заказных сделок будет снижаться, т.к. развивается государственный контроль (на данный момент - это налоговая полиция, в будущем - это муниципальные структуры, не желающие терять деньги для местного бюджета). Второй - тенденция к сертифицированию и контролю работы оценщика со стороны профессиональных союзов оценщиков и риэлтеров, а также государства. Третий - возрастание заказов с требованием предельно точной оценки, особенно это касается государственных структур, да и частные лица и предприятия все больше заинтересованы в точной оценке своей собственности. Четвертый - внутренняя конкуренция среди оценщиков, ни для кого не секрет, что рынок работы для них сокращается и, очевидно, непрофессионалы, в конце концов, останутся без дела.

1. Наиболее важным источником высоких значений статистических коэффициентов (COV, COD и т.д.) является начальный шум сделок e ₀
2. Во многих случаях модель может предсказывать рыночную стоимость гораздо точнее, чем цены сделок в базе данных
3. Основным источником выбросов является некорректность информации в б/д и специфические недостатки моделирования (неустойчивость и т.д.)

Следует также выделить тот факт, что по отдельности ни модель, ни эксперт не смогут добиться того результата, который получает эксперт владеющий моделированием или моделист с опытом оценки. Тем более, что со стороны муниципалитетов и государственных структур требования на массовую оценку (заказов на которую становится все больше и больше) обязательно включают создание и защиту модели.

Определение статистических коэффициентов для случая моделирования рынка недвижимости [3].

где S_i - предсказанная стоимость собственности i; - соответствующая цена сделки, p -число факторов, n - число сделок в б/д.

[1] Ю.В.Кочетков, Н.В.Калинина “О роли и задачах компьютеризованной массовой оценки в России.” В печати.